Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x + 3}}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 3}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{1 + 3}}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{1 + 3}}}$

Schritt 11.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{4}}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{1^{2} - e^{\frac{2}{4}}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $e^{\frac{2}{4}}$ als ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ um.

$\frac{1}{1^{2} - {(e^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

Schritt 11.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = e^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

Dezimalform:

$- 1.54149408 \dots$