Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{3}{x} \cdot (\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x}$ mit $\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} - \frac{1}{5 - x})}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.2.1

Um $\frac{1}{5 + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} \cdot \frac{5 - x}{5 - x} - \frac{1}{5 - x})}{x}$

Schritt 1.1.2.2

Um $- \frac{1}{5 - x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{1}{5 + x} \cdot \frac{5 - x}{5 - x} - \frac{1}{5 - x} \cdot \frac{5 + x}{5 + x})}{x}$

Schritt 1.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(5 + x) (5 - x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 + x}$ mit $\frac{5 - x}{5 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{1}{5 - x} \cdot \frac{5 + x}{5 + x})}{x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5 - x}$ mit $\frac{5 + x}{5 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{5 + x}{(5 - x) (5 + x)})}{x}$

Schritt 1.1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $(5 - x) (5 + x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (\frac{5 - x}{(5 + x) (5 - x)} - \frac{5 + x}{(5 + x) (5 - x)})}{x}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}}{x}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$3 \frac{lim_{x \to 0} 5 - x - (5 + x)}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $5 - x - (5 + x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{5 + 0 - (5 + 0)}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.2.1

Addiere $5$ und $0$ .

$3 \frac{5 + 0 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 \frac{5 + 0 - 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.2.3

Addiere $5$ und $0$ .

$3 \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.2.4

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} (5 + x) (5 - x) x}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 5 + x \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{0}{(lim_{x \to 0} 5 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} 5 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \frac{0}{(5 + lim_{x \to 0} x) \cdot (5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Schritt 2.1.3.6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \frac{0}{(5 + 0) \cdot (5 + 0) \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$3 \frac{0}{5 \cdot (5 + 0) \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.7.2

Addiere $5$ und $0$ .

$3 \frac{0}{5 \cdot 5 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.7.3

Multipliziere $5 \cdot 5 \cdot 0$ .

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Schritt 2.1.3.7.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$3 \frac{0}{25 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.7.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.7.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$3 (\frac{0}{0})$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - x - (5 + x)}{(5 + x) (5 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - x - (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - x - (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x - (5 + x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [- (5 + x)]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- (5 + x)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (5 + x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [5 + x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - \frac{d}{d x} [5 + x]}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5.5

Addiere $0$ und $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 - 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.6.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 1 - 1}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x) x]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = (5 + x) (5 - x)$ und $g (x) = x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $5 + x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x \frac{d}{d x} [(5 + x) (5 - x)]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 5 + x$ und $g (x) = 5 - x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \frac{d}{d x} [5 - x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.12

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x] + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 \cdot 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x ((5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.17

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $5 + x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- 1 \cdot (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.18

Schreibe $- 1 (5 + x)$ als $- (5 + x)$ um.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [5 + x])}$

Schritt 2.3.19

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 2.3.20

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 2.3.21

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 2.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + (5 - x) \cdot 1)}$

Schritt 2.3.23

Mutltipliziere $5 - x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- (5 + x) + 5 - x)}$

Schritt 2.3.24

Vereinfache.

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Schritt 2.3.24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x (- 1 \cdot 5 - x + 5 - x)}$

Schritt 2.3.24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) (5 - x) + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{(5 + x) \cdot 5 + (5 + x) \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{5 \cdot 5 + x \cdot 5 + (5 + x) \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{5 \cdot 5 + x \cdot 5 + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.24.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + x \cdot 5 + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 \cdot x + 5 \cdot - 1 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x + x \cdot - 1 x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1} x + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{1 + 1} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.7

Addiere $1$ und $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 5 x - 5 x - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.8

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 + 0 - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.9

Addiere $25$ und $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} + x \cdot - 1 \cdot 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} + x \cdot - 5 + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.11

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 \cdot x + x \cdot - 1 x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1} x + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1} x^{1} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{1 + 1} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.15

Addiere $1$ und $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{2} + x \cdot 5 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.16

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 5 x - x^{2} + 5 \cdot x + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.17

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} + 0 + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.18

Addiere $- x^{2}$ und $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} + x \cdot - 1 x}$

Schritt 2.3.24.6.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1} x}$

Schritt 2.3.24.6.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1} x^{1}}$

Schritt 2.3.24.6.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.24.6.22

Addiere $1$ und $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - x^{2} - x^{2}}$

Schritt 2.3.24.6.23

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - x^{2} - 2 x^{2}}$

Schritt 2.3.24.6.24

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{25 - 3 x^{2}}$

Schritt 2.3.24.7

Stelle die Terme um.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 2}{- 3 x^{2} + 25}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- 3 x^{2} + 25}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 25}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 25}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Schritt 3.5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Schritt 3.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 25}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $25$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 25}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$3 \cdot - 2 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} + 25}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 6 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} + 25}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 6 \frac{1}{- 3 \cdot 0 + 25}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- 6 \frac{1}{0 + 25}$

Schritt 5.2.3

Addiere $0$ und $25$ .

$- 6 (\frac{1}{25})$

Schritt 5.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{25}$ .

$\frac{- 6}{25}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{25}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{6}{25}$

Dezimalform:

$- 0.24$