Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 9}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2 - 9}$ und $x^{2 - 5 x + 6}$ .

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{2 - 5 x + 6}$ aus $x^{2 - 9}$ heraus.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

Schritt 1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{1}$

Schritt 1.1.2.4

Dividiere $x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$

Schritt 1.2

Addiere $2$ und $6$ .

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$ als $e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$ um.

$lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})$ durch Herausziehen von $- 7 - (- 5 x + 8)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 3} e^{(- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 3} (- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $- 7 - (- 5 x + 8)$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$e^{(- 7 - (- 5 \cdot 3 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$e^{(- 7 - (- 15 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 15$ und $8$ .

$e^{(- 7 - - 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$e^{(- 7 + 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4.3

Addiere $- 7$ und $7$ .

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$e^{0 \cdot \ln (3)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache $0 \cdot \ln (3)$ , indem du $0$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln (3^{0})}$

Schritt 5.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3^{0}$

Schritt 5.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$