Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} (\frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}}) - 8 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$lim_{x \to 3} \frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{7}{12}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7}{12} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{lim_{x \to 3} x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{x \to 3} x^{2}}}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kombinieren.

$\frac{7 \cdot 1}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.3

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ mit $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} \cdot \frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ mit $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.2

Bewege $\sqrt[12]{243}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 (\sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.3

Potenziere $\sqrt[12]{243}$ mit $1$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 ({\sqrt[12]{243}}^{1} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{1 + 11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.5

Addiere $1$ und $11$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6

Schreibe ${\sqrt[12]{243}}^{12}$ als $243$ um.

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Schritt 14.1.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[12]{243}$ als $243^{\frac{1}{12}}$ neu zu schreiben.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {(243^{\frac{1}{12}})}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{1}{12} \cdot 12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $12$ .

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 14.1.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{1}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.6.1

Schreibe ${\sqrt[12]{243}}^{11}$ als $\sqrt[12]{243^{11}}$ um.

$\frac{7 \sqrt[12]{243^{11}}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6.2

Potenziere $243$ mit $11$ .

$\frac{7 \sqrt[12]{174449211009120000000000000}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6.3

Schreibe $174449211009120000000000000$ als $10^{12} \cdot 174449211009120$ um.

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Schritt 14.1.6.3.1

Faktorisiere $1000000000000$ aus $174449211009120000000000000$ heraus.

$\frac{7 \sqrt[12]{1000000000000 (174449211009120)}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6.3.2

Schreibe $1000000000000$ als $10^{12}$ um.

$\frac{7 \sqrt[12]{10^{12} \cdot 174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{7 \cdot 10 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.6.5

Mutltipliziere $7$ mit $10$ .

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.7

Mutltipliziere $12$ mit $243$ .

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $70$ und $2916$ .

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Schritt 14.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $70 \sqrt[12]{174449211009120}$ heraus.

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2916$ heraus.

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 (1458)} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 \cdot 1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

Schritt 14.1.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

Schritt 14.1.10

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 14.1.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 14.1.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{9}$ mit $1$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Schritt 14.1.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Schritt 14.1.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Schritt 14.1.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ als $9$ um.

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Schritt 14.1.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 14.1.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 14.1.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 14.1.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.1.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 14.1.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Schritt 14.1.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Schritt 14.1.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ als $\sqrt[3]{9^{2}}$ um.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Schritt 14.1.12.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{81}}{9}$

Schritt 14.1.12.3

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 14.1.12.3.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Schritt 14.1.12.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Schritt 14.1.12.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Schritt 14.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 14.1.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[3]{3}$ heraus.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9}$

Schritt 14.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 14.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 14.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.2

Um $- 8 \sqrt[3]{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.3

Kombiniere $- 8 \sqrt[3]{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3 + \sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 24 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.5.1.2

Addiere $- 24 \sqrt[3]{3}$ und $\sqrt[3]{3}$ .

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 14.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

Dezimalform:

$- 10.68817030 \dots$