Analysis Beispiele

$lim_{x \to 81} \frac{x - 81}{\sqrt{x - 9}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x - 81}{lim_{x \to 81} \sqrt{x - 9}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}{lim_{x \to 81} \sqrt{x - 9}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $81$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 81} \sqrt{x - 9}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}{\sqrt{lim_{x \to 81} x - 9}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}{\sqrt{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 9}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $81$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}{\sqrt{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 9}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $81$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{\sqrt{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 9}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $81$ für $x$ .

$\frac{81 - 1 \cdot 81}{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{81 - 81}{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\frac{0}{\sqrt{81 - 1 \cdot 9}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{81 - 9}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$\frac{0}{\sqrt{72}}$

Schritt 8.2.3

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.2.3.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$\frac{0}{\sqrt{36 (2)}}$

Schritt 8.2.3.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{0}{\sqrt{6^{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{0}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $6$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $6$ aus $0$ heraus.

$\frac{6 (0)}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{6 (0)}{6 (\sqrt{2})}$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 0}{6 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.4

Dividiere $0$ durch $\sqrt{2}$ .

$0$