Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{7 x + 1} - 5}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{7 x + 1} - 5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{7 x + 1} - 5}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{7 x + 1} - 5}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{7 x + 1} - lim_{x \to 2} 5}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 2} 7 x + 1} - lim_{x \to 2} 5}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 1} - lim_{x \to 2} 5}$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{7 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1} - lim_{x \to 2} 5}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{7 lim_{x \to 2} x + 1} - lim_{x \to 2} 5}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{\sqrt{7 lim_{x \to 2} x + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{7 lim_{x \to 2} x + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{7 \cdot 2 + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{7 \cdot 2 + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 11.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{7 \cdot 2 + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{14 + 1} - 1 \cdot 5}$

Schritt 11.2.2

Addiere $14$ und $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{15} - 1 \cdot 5}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0}{\sqrt{15} - 5}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $\sqrt{15} - 5$ .

$0$