Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 2 x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 4 x + 3}}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 4 x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 2$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x + 2}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 4 lim_{x \to - 2} x + 3}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 2$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1