Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cos (π x)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 2} x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$e^{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (lim_{x \to 2} π x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{2 - 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$e^{0} \cdot \cos (π \cdot 2)$

Schritt 8.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \cdot \cos (π \cdot 2)$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\cos (π \cdot 2)$ mit $1$ .

$\cos (π \cdot 2)$

Schritt 8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\cos (2 \cdot π)$

Schritt 8.6

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\cos (0)$

Schritt 8.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$1$