Analysis Beispiele

$\csc^{2} (e^{4 x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (e^{4 x})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (e^{4 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (e^{4 x})$ .

$2 \csc (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $e^{4 x}$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{4 x}$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (- \csc (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \csc (e^{4 x}) (\csc (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 4

Potenziere $\csc (e^{4 x})$ mit $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (e^{4 x}) \csc (e^{4 x})) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 5

Potenziere $\csc (e^{4 x})$ mit $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (e^{4 x}) \csc^{1} (e^{4 x})) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 {\csc (e^{4 x})}^{1 + 1} (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $4 x$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $4 x$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} \cdot 1)$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $e^{4 x}$ mit $1$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) e^{4 x}$

Schritt 9.4.2

Stelle die Faktoren von $- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) e^{4 x}$ um.

$- 8 e^{4 x} \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x})$