Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \sqrt[3]{\frac{x}{- 7 x + 1}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 4} \frac{x}{- 7 x + 1}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} - 7 x + 1}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x}{- lim_{x \to 4} 7 x + lim_{x \to 4} 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x}{- 7 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x}{- 7 lim_{x \to 4} x + 1}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4}{- 7 lim_{x \to 4} x + 1}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4}{- 7 \cdot 4 + 1}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4}{- 28 + 1}}$

Schritt 7.2

Addiere $- 28$ und $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{4}{- 27}}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt[3]{- \frac{4}{27}}$

Schritt 7.4

Schreibe $- \frac{4}{27}$ als ${(- \frac{1}{3})}^{3} \cdot 4$ um.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{4}{27}}$

Schritt 7.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1^{3} \cdot 4}{27}}$

Schritt 7.4.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{3}$ aus $27$ heraus.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1^{3} \cdot 4}{3^{3} \cdot 1}}$

Schritt 7.4.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} \cdot 4}{3^{3} \cdot 1}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} ({(\frac{1}{3})}^{3} \cdot 4)}$

Schritt 7.4.5

Schreibe ${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}$ als ${(- \frac{1}{3})}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- \frac{1}{3})}^{3} \cdot 4}$

Schritt 7.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{1}{3} \sqrt[3]{4}$

Schritt 7.6

Kombiniere $\sqrt[3]{4}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt[3]{4}}{3}$

Dezimalform:

$- 0.52913368 \dots$