Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{\sqrt{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\sqrt{4} \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{4}}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{4} \cdot 2$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ mit $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $2 - \sqrt{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe den Term $2 \sqrt{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 3.1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Schritt 3.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 3.1.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

Schritt 3.1.3.3.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - 1 \cdot 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.6.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

Schritt 3.3.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

Schritt 3.3.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 (x - 4)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 3.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Schritt 3.3.14

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

Schritt 3.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $0$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$0$