Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} 2 x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 4} x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$ als $e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$ um.

$2 lim_{x \to 4} e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})$ durch Herausziehen von $3 \sqrt{x^{2} + 7}$ aus dem Logarithmus.

$2 lim_{x \to 4} e^{3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$2 e^{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Schritt 3.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

Schritt 3.8

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (4)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 e^{3 \sqrt{16 + 7} \cdot \ln (4)}$

Schritt 5.2

Addiere $16$ und $7$ .

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

Dezimalform:

$918681247.931872$