Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{3 (\sqrt{5 x - 5})}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 5} \frac{3 - \sqrt{2 x - 1}}{\sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to 5} \sqrt{2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 5} \sqrt{5 x - 5}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - 5}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 5} 5 x - lim_{x \to 5} 5}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{2 \cdot 5 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{10 - 1}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.3

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.1.7

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5 \cdot 5 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{25 - 5}}$

Schritt 14.2.3

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{20}}$

Schritt 14.2.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 14.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{4 (5)}}$

Schritt 14.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Schritt 14.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 14.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (0)}{2 (\sqrt{5})}$

Schritt 14.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 0}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 14.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{5}}$

Schritt 14.4

Dividiere $0$ durch $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$0$