Analysis Beispiele

$\int \frac{0.2 x - 0.3}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $0.2 x - 0.3$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $0.2 x$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x) - 0.3}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x) + 0.1 (- 3)}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (2 x) + 0.1 (- 3)$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 x^{2} - 0.6 x + 2} d x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 x^{2} - 0.6 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2}) - 0.6 x + 2} d x$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $0.2$ aus $- 0.6 x$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2}) + 0.2 (- 3 x) + 2} d x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $0.2$ aus $2$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 x^{2} + 0.2 (- 3 x) + 0.2 \cdot 10} d x$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 x^{2} + 0.2 (- 3 x)$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2} - 3 x) + 0.2 \cdot 10} d x$

Schritt 1.2.5

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (x^{2} - 3 x) + 0.2 \cdot 10$ heraus.

$\int \frac{0.1 (2 x - 3)}{0.2 (x^{2} - 3 x + 10)} d x$

Schritt 1.3

Separiere Brüche.

$\int \frac{0.1}{0.2} \cdot \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Schritt 1.4

Dividiere $0.1$ durch $0.2$ .

$\int 0.5 \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Schritt 1.5

Kombiniere $0.5$ und $\frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10}$ .

$\int \frac{0.5 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Schritt 2

Da $0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $0.5$ aus dem Integral.

$0.5 \int \frac{2 x - 3}{x^{2} - 3 x + 10} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} - 3 x + 10$ . Dann ist $d u = (2 x - 3) d x$ , folglich $\frac{1}{2 x - 3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} - 3 x + 10$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} - 3 x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 10]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [10]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$2 x - 3$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$0.5 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$0.5 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$0.5 \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3 x + 10$ .

$0.5 \ln (| x^{2} - 3 x + 10 |) + C$