Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 5} \frac{x^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 5} x^{2}}{lim_{x \to - 5} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2}}{lim_{x \to - 5} {(x - 5)}^{2}}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - 5)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2}}{{(lim_{x \to - 5} x - 5)}^{2}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 5$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2}}{{(lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 5)}^{2}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 5$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to - 5} x)}^{2}}{{(lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 5$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 5$ für $x$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{{(lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 5$ für $x$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{{(- 5 - 1 \cdot 5)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{25}{{(- 5 - 1 \cdot 5)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{25}{{(- 5 - 5)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$\frac{25}{{(- 10)}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{25}{100}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\frac{25 (1)}{100}$

Schritt 7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Schritt 7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Schritt 7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$