Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 5} \sqrt{2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $14$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - lim_{x \to 5} 2 \cdot \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 lim_{x \to 5} \sqrt{x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - 6 x + 9}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 6 x + lim_{x \to 5} 9}$

Schritt 13

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 9}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $5$ annähert.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 5} x + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $5$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{lim_{x \to 5} x + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 lim_{x \to 5} x + 9}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $5$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{10 + 14} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.1.2

Addiere $10$ und $14$ .

$\frac{\sqrt{24} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.1.3

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (6)} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{5 + 2}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.1.5

Addiere $5$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{5^{2} - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 6 \cdot 5 + 9}$

Schritt 16.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{25 - 30 + 9}$

Schritt 16.2.3

Subtrahiere $30$ von $25$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{- 5 + 9}$

Schritt 16.2.4

Addiere $- 5$ und $9$ .

$\frac{2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{7}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6}) - 2 \sqrt{7}}{4}$

Schritt 16.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{7}$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})}{4}$

Schritt 16.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (\sqrt{6}) + 2 (- \sqrt{7})$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{4}$

Schritt 16.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 (2)}$

Schritt 16.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\sqrt{6} - \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Schritt 16.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{7}}{2}$

Dezimalform:

$- 0.09813078 \dots$