Analysis Beispiele

$e x^{x}$

Schritt 1

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e x^{x}$ nach $x$ gleich $e \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$e \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$e \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$e \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \ln (x)$ .

$e (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x \ln (x)$ .

$e (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 4

Potenziere $e$ mit $1$ .

$e^{x \ln (x)} e^{1} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{x \ln (x) + 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x) + 1} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x) + 1} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x) + 1} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x \ln (x) + 1} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x \ln (x) + 1} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (x) + 1} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$e^{x \ln (x) + 1} (1 + \ln (x))$