Analysis Beispiele

$a e^{4 x} + 8 \sqrt{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a e^{4 x} + 8 \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [a e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [a e^{4 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a e^{4 x}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$a \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$a (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$a (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$a (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$a (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$a (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$a (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 2.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a e^{4 x} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 a e^{4 x} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 a e^{4 x} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 a e^{4 x} + 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 a e^{4 x} + 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 a e^{4 x} + \frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 a e^{4 x} + \frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.12

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$4 a e^{4 x} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$4 a e^{4 x} + \frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 a e^{4 x} + \frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$4 a e^{4 x} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$