Analysis Beispiele

$\frac{\cos (π x + 1)}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (π x + 1)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\cos (π x + 1)] - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π x + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $π x + 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) \frac{d}{d x} [π x + 1]) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + \frac{d}{d x} [1])) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) (π + 0)) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (- \sin (π x + 1) π) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- π x \sin (π x + 1) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- π x \sin (π x + 1)$ heraus.

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - \cos (π x + 1)}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (π x + 1)$ heraus.

$\frac{- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (π x \sin (π x + 1)) - (\cos (π x + 1))$ heraus.

$\frac{- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Schreibe $- (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ als $- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))$ um.

$\frac{- 1 (π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1))}{x^{2}}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{π x \sin (π x + 1) + \cos (π x + 1)}{x^{2}}$