Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{| x |}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = | x |$ .

$\frac{| x | \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [| x |]}{{| x |}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{| x | (2 x) - x^{2} \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und $x^{2}$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{| x | (2 x) - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.1.2

Stelle die Faktoren in $2 | x | x - \frac{x^{3}}{| x |}$ um.

$\frac{2 x | x | - \frac{x^{3}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x^{3}}{| x |} + 2 x | x |$ heraus.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- \frac{x^{3}}{| x |}$ heraus.

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 x | x |}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x | x |$ heraus.

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- \frac{x^{2}}{| x |}) + x (2 | x |)$ heraus.

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + 2 | x |)}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Um $2 | x |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$\frac{x (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{2 | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.1

Multipliziere $2 | x | | x |$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1} x^{1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{x \frac{- x^{2} + 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.3.4.3

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 6.4

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{x \frac{x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Schritt 6.5

Kombiniere $x$ und $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Schritt 6.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{2}}{| x |}}{x^{2}}$

Schritt 6.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x^{1 + 2}}{| x |}}{x^{2}}$

Schritt 6.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{| x |}}{x^{2}}$

Schritt 6.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{3}}{| x |} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6.8

Kombinieren.

$\frac{x^{3} \cdot 1}{| x | x^{2}}$

Schritt 6.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} \cdot 1$ heraus.

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{| x | x^{2}}$

Schritt 6.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.9.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $| x | x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Schritt 6.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x \cdot 1)}{x^{2} | x |}$

Schritt 6.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot 1}{| x |}$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x}{| x |}$