Analysis Beispiele

$\frac{e^{2 x}}{2 x}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{2 x}}{2 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{2 x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 e^{2 x}) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x} x - e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $2 e^{2 x} x$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (2 x) - e^{2 x}}{2 x^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $- e^{2 x}$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1}{2 x^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2 x^{2}}$