Analysis Beispiele

$\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - 1))$

Schritt 1

Da $\frac{2}{π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ nach $x$ gleich $\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$ .

$\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{π}{2} (x - 1)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{2} (x - 1)$ .

$\frac{2}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{2}{π} (\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ und $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 2}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

Schritt 3.3

Da $\frac{π}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{2} (x - 1)$ nach $x$ gleich $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π}$ .

$\frac{π (2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1)))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 \cdot π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.4.2

Dividiere $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + 0)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 1$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ mit $1$ .

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} \cdot - 1)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $- 1$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π \cdot - 1}{2})$

Schritt 4.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $π$ .

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- 1 \cdot π}{2})$

Schritt 4.2.3

Schreibe $- 1 π$ als $- π$ um.

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- π}{2})$

Schritt 4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$