Analysis Beispiele

$2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2.7 (\frac{x}{2}) + (18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2.7 (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 2.1

Kombiniere $2.7$ und $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2.7 x}{2}] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Schritt 2.2

Da $\frac{2.7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2.7 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{2.7}{2}$ mit $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [(18 + 1.1 x) (\frac{120}{x})]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 18 + 1.1 x$ und $g (x) = \frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) \frac{d}{d x} [\frac{120}{x}] + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Schritt 3.2

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{120}{x}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} \frac{d}{d x} [18 + 1.1 x]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $18 + 1.1 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Schritt 3.6

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + \frac{d}{d x} [1.1 x])$

Schritt 3.7

Da $1.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1.1 x$ nach $x$ gleich $1.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (120 (- x^{- 2})) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $120$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1 \cdot 1)$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $1.1$ mit $1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} (0 + 1.1)$

Schritt 3.11

Addiere $0$ und $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120}{x} \cdot 1.1$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{120}{x}$ und $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{120 \cdot 1.1}{x}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $120$ mit $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + (18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) + \frac{132}{x}$

Schritt 3.14

Um $(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x}{x} + \frac{132}{x}$

Schritt 3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 2}) x + 132}{x}$

Schritt 3.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 (x^{1} x^{- 2})) + 132}{x}$

Schritt 3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{1 - 2}) + 132}{x}$

Schritt 3.18

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 x^{- 1}) + 132}{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{(18 + 1.1 x) (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- 120 \frac{1}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $- 120$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 \frac{- 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2.7}{2} + \frac{18 (- \frac{120}{x}) + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- 18 \frac{120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $- 18$ und $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 18 \cdot 120}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $- 18$ mit $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{\frac{- 2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- 120 \frac{1}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.7

Kombiniere $- 120$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x \frac{- 120}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 1.1 x (- \frac{120}{x}) + 132}{x}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 1.1 x \frac{120}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.10

Kombiniere $- 1.1$ und $\frac{120}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 1.1 \cdot 120}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $- 1.1$ mit $120$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + x \frac{- 132}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.12

Kombiniere $x$ und $\frac{- 132}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{x \cdot - 132}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.13

Bringe $- 132$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 \cdot x}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + \frac{- 132 x}{x} + 132}{x}$

Schritt 4.3.14.2

Dividiere $- 132$ durch $1$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} - 132 + 132}{x}$

Schritt 4.3.15

Addiere $- 132$ und $132$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x} + 0}{x}$

Schritt 4.3.16

Addiere $- \frac{2160}{x}$ und $0$ .

$\frac{2.7}{2} + \frac{- \frac{2160}{x}}{x}$

Schritt 4.3.17

Schreibe $\frac{- \frac{2160}{x}}{x}$ als ein Produkt um.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 4.3.18

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{2160}{x}$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x \cdot x}$

Schritt 4.3.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x}$

Schritt 4.3.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 4.3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2.7}{2} - \frac{2160}{x^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{2160}{x^{2}} + \frac{2.7}{2}$

Schritt 4.5

Dividiere $2.7$ durch $2$ .

$- \frac{2160}{x^{2}} + 1.35$