Analysis Beispiele

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ ist $f' (g (v)) g' (v)$ , mit $f (v) = v^{- \frac{1}{2}}$ und $g (v) = 1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6.2.2

Bringe ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Schritt 6.4

Da $1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

Schritt 6.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- {(\frac{v}{c})}^{2}$ nach $v$ gleich $- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}])$

Schritt 6.7

Multipliziere.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ ist $f' (g (v)) g' (v)$ , mit $f (v) = v^{2}$ und $g (v) = \frac{v}{c}$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{v}{c}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

Schritt 8.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{2 v}{c}$ mit $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

Schritt 8.3

Da $\frac{1}{c}$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $\frac{v}{c}$ nach $v$ gleich $\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} (\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v])$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{1}{c}$ mit $\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})}$ .

$\frac{v}{c (c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}))} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 9

Potenziere $c$ mit $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 10

Potenziere $c$ mit $1$ .

$\frac{v}{c^{1} c^{1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{v}{c^{1 + 1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{v}{c}$ an.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}}$