Analysis Beispiele

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{u}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ als ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ und $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = u^{2}$ und $g (u) = \frac{u}{2}$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Kombiniere $2$ und $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u}{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

Schritt 9.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

Schritt 9.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.8.1

Addiere $\frac{u}{2}$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

Schritt 9.8.2

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 9.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $\frac{u}{2}$ an.

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$