Analysis Beispiele

$\frac{\tan (q)}{1 + \tan (q)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ gleich $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ ist mit $f (q) = \tan (q)$ und $g (q) = 1 + \tan (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \frac{d}{d q} [\tan (q)] - \tan (q) \frac{d}{d q} [1 + \tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (q)$ nach $q$ ist $\sec^{2} (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \frac{d}{d q} [1 + \tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \tan (q)$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [\tan (q)]$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) (\frac{d}{d q} [1] + \frac{d}{d q} [\tan (q)])}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) (0 + \frac{d}{d q} [\tan (q)])}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d q} [\tan (q)]$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \frac{d}{d q} [\tan (q)]}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (q)$ nach $q$ ist $\sec^{2} (q)$ .

$\frac{(1 + \tan (q)) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \sec^{2} (q) + \tan (q) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 \sec^{2} (q) + \tan (q) \sec^{2} (q) - \tan (q) \sec^{2} (q)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $\tan (q) \sec^{2} (q)$ von $\tan (q) \sec^{2} (q)$ .

$\frac{1 \sec^{2} (q) + 0}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $1 \sec^{2} (q)$ und $0$ .

$\frac{1 \sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (q)$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{2} (q)}{{(1 + \tan (q))}^{2}}$