Analysis Beispiele

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ als ein Produkt um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Schritt 3

Schreibe $\sin (t)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Dividiere $\sin (t)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Schritt 4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 t)}$ nach $\csc (2 t)$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = \sin (t)$ und $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \csc (t)$ und $g (t) = 2 t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\csc (u)$ nach $u$ ist $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $\sin (t)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $\csc (2 t)$ und $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.4

Kombiniere $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ und $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ heraus.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.5.2.4

Dividiere $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ durch $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Schritt 9.2.6

Kombiniere $\csc (2 t)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

Schritt 9.2.7

Kombiniere $\frac{\csc (2 t)}{2}$ und $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Schreibe $\cot (2 t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.2

Schreibe $\csc (2 t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.3

Multipliziere $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (2 t)}$ mit $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.3.2

Potenziere $\sin (2 t)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.3.3

Potenziere $\sin (2 t)$ mit $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.4

Kombiniere $\sin (t)$ und $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.5

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.6.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.6.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.6.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t) \cos (t)$ an.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.6.2.2

Wende die Produktregel auf $2 \sin (t)$ an.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.7.1

Faktorisiere $\sin (t)$ aus $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ heraus.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.7.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.8

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.9

Schreibe $\csc (2 t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

Schritt 9.4.10

Kombiniere $\frac{1}{\sin (2 t)}$ und $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

Schritt 9.4.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.11.1

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Schritt 9.4.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Schritt 9.4.11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

Schritt 9.4.12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.4.13

Multipliziere $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sin (t)}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

Schritt 9.4.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.2

Schreibe $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.3

Schreibe $\cos (2 t)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.4.1

Dividiere $\cos (2 t)$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.5

Multipliziere mit $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.6

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.7

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ nach $\sec^{2} (t)$ um.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.10

Multipliziere $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.10.1

Kombiniere $\cos (2 t)$ und $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.10.2

Kombiniere $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ und $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Schritt 9.5.11

Separiere Brüche.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Schritt 9.5.12

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

Schritt 9.5.13

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$