Analysis Beispiele

$9 \sqrt{t} e^{t} + t$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 \sqrt{t} e^{t} + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.2

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}$ nach $t$ gleich $9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = e^{t}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.12

Kombiniere $e^{t}$ und $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.13

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 1$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t}) + 9 \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Schritt 4.2

Kombiniere $9$ und $\frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$9 e^{t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$