Analysis Beispiele

${(1 - \frac{t}{40})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(1 - \frac{t}{40})}^{2}$ als $(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})$ um.

$\frac{d}{d t} [(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})]$

Schritt 2

Multipliziere $(1 - \frac{t}{40}) (1 - \frac{t}{40})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [1 (1 - \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} (1 - \frac{t}{40})]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} (1 - \frac{t}{40})]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d t} [1 \cdot 1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 1 (- \frac{t}{40}) - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- \frac{t}{40}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} \cdot 1 - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})]$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- \frac{t}{40} (- \frac{t}{40})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + 1 \frac{t}{40} \frac{t}{40}]$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{t}{40}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t}{40} \cdot \frac{t}{40}]$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $\frac{t}{40}$ mit $\frac{t}{40}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t \cdot t}{40 \cdot 40}]$

Schritt 3.1.4.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1} t}{40 \cdot 40}]$

Schritt 3.1.4.5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1} t^{1}}{40 \cdot 40}]$

Schritt 3.1.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{1 + 1}}{40 \cdot 40}]$

Schritt 3.1.4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{40 \cdot 40}]$

Schritt 3.1.4.8

Mutltipliziere $40$ mit $40$ .

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{40} - \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{t}{40}$ von $- \frac{t}{40}$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 2 \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{d}{d t} [1 + 2 (- 1) \frac{t}{40} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$\frac{d}{d t} [1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d t} [1 + 2 \cdot - 1 \frac{t}{2 \cdot 20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d t} [1 - 1 \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \frac{t}{20}$ als $- \frac{t}{20}$ um.

$\frac{d}{d t} [1 - \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{t}{20} + \frac{t^{2}}{1600}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 6

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}]$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{20}] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 8

Da $- \frac{1}{20}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{20}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{20} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{20} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{1600}]$

Schritt 11

Da $\frac{1}{1600}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t^{2}}{1600}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{1600} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{1}{1600} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{1}{1600} (2 t)$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1600}$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2}{1600} t$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{2}{1600}$ und $t$ .

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{1600}$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $1600$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$- \frac{1}{20} + \frac{2 (t)}{1600}$

Schritt 13.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $1600$ heraus.

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{2 \cdot 800}$

Schritt 13.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{20} + \frac{2 t}{2 \cdot 800}$

Schritt 13.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{20} + \frac{t}{800}$

Schritt 13.4

Stelle die Terme um.

$\frac{t}{800} - \frac{1}{20}$