Analysis Beispiele

$\frac{\cos (6 t)}{t^{3} - 27}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \cos (6 t)$ und $g (t) = t^{3} - 27$ .

$\frac{(t^{3} - 27) \frac{d}{d t} [\cos (6 t)] - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 6 t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (u) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 t$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) \frac{d}{d t} [6 t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- \sin (6 t) (6 \frac{d}{d t} [t])) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \frac{d}{d t} [t]) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t) \cdot 1) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) \frac{d}{d t} [t^{3} - 27]}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} - 27$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27]$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 27])}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 27$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 27$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2} + 0)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $3 t^{2}$ und $0$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - \cos (6 t) (3 t^{2})}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(t^{3} - 27) (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{3} (- 6 \sin (6 t)) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 27 (- 6 \sin (6 t)) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 27$ .

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Stelle die Faktoren in $- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 \cos (6 t) t^{2}$ um.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) + 162 \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 t^{3} \sin (6 t) - 3 t^{2} \cos (6 t) + 162 \sin (6 t)}{{(t^{3} - 27)}^{2}}$