Analysis Beispiele

$4 x^{2} (x - 9)$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} (x - 9)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 9)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (x - 9)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 9$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [x - 9] + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x^{2} (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 (x^{2} \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$4 (x^{2} + (x - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + (x - 9) (2 x))$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 9$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot (x - 9) x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 9) x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x)) + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 (x^{1} x^{1})) + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2} + 4 (2 x^{1 + 1}) + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x^{2} + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 9 x)$

Schritt 4.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} + 4 (- 18 x)$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 8 x^{2} - 72 x$

Schritt 4.4.8

Addiere $4 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 72 x$