Analysis Beispiele

$\cos (x) (2 x^{3} - \sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x^{3} - \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - \sin (x)] + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\cos (x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\cos (x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) (6 x^{2}) - {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin (x) \sin (x)$

Schritt 5.3.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Schritt 5.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Schritt 5.3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 5.3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} \cos (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$