Analysis Beispiele

$x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.13

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.15

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.16

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.16.3

Forme den Ausdruck um.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.17

Kombiniere $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ und $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.18

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{2 \cdot \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.19

Kombiniere $x$ und $\frac{2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.20

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.21.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.21.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.21.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 2.22

Mutltipliziere $\tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [14]$

Schritt 3

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$