Analysis Beispiele

$f (x) = x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.9

Mutltipliziere ${(x^{2} - 1)}^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.10.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.10.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{2} x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{2 + 2} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = x^{4} \cdot 4 + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f' (x) = 4 \cdot x^{4} + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} + x^{2} \cdot - 4 + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.3.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.1.10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.10.4.1

Schreibe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ als $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ um.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.10.4.2

Multipliziere $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.10.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.10.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)$

Schritt 1.1.10.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.10.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.10.4.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.10.4.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3.1.3

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3.1.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1$

Schritt 1.1.10.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Schritt 1.1.10.4.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = 4 x^{4} - 4 x^{2} + x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Schritt 1.1.10.5

Addiere $4 x^{4}$ und $x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 4 x^{2} - 2 x^{2} + 1$

Schritt 1.1.10.6

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 u$ heraus.

$5 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $- 6$ um als $- 1$ plus $- 5$

$5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (5 u - 1) - (5 u - 1) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 u - 1$ .

$(5 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 2.5

Setze $5 u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $5 u - 1$ gleich $0$ .

$5 u - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $5 u - 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 u = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 u = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{1}{5}$

Schritt 2.6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 u - 1) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = \frac{1}{5}, 1$

Schritt 2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 2.10.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{5}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.10.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.10.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.10.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.10.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 2.10.2.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 2.10.2.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 2.10.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.10.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.10.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.10.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.10.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.10.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.10.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.10.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 2.10.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.12.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.13

Die Lösung von $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1 = 0$ ist $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x {(x^{2} - 1)}^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$(\frac{\sqrt{5}}{5}) {({(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 4.1.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{5}$ an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Schritt 4.1.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.8.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} (1 \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $\frac{4^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.1.2.9

Kombinieren.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5 \cdot 5^{2}}$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $5$ mit $5^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $5^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.10.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1} \cdot 5^{2}}$

Schritt 4.1.2.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{1 + 2}}$

Schritt 4.1.2.10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 4^{2}}{5^{3}}$

Schritt 4.1.2.11

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{5^{3}}$

Schritt 4.1.2.12

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{5} \cdot 16}{125}$

Schritt 4.1.2.13

Bringe $16$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}) {({(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5^{1}}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{5^{2}} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5}{25} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 4.2.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 (1)}{25} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1)}^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 1 \cdot 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{1 - 5}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(\frac{- 4}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} {(- \frac{4}{5})}^{2}$

Schritt 4.2.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{4}{5}$ an.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{5})}^{2})$

Schritt 4.2.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$- \frac{\sqrt{5}}{5} ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{5^{2}})$

Schritt 4.2.2.8

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.8.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.2.8.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.2.2.8.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.2.8.3

Addiere $2$ und $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Schritt 4.2.2.9

Potenziere $4$ mit $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{5^{2}}$

Schritt 4.2.2.10

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(- 1)}^{3} \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{16}{25}$

Schritt 4.2.2.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$

Schritt 4.2.2.12

Multipliziere $- \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{16}{25}$ .

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Schritt 4.2.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{16}{25}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.12.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$- \frac{16 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$(1) {({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere ${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$ mit $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(1 - 1)}^{2}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{2}$

Schritt 4.3.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$(- 1) {({(- 1)}^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 {(1 - 1)}^{2}$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 1 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.4.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 1 \cdot 0$

Schritt 4.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.5

Liste all Punkte auf.

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (- \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{16 \sqrt{5}}{125}), (1, 0), (- 1, 0)$

Schritt 5