Analysis Beispiele

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Potenziere $22 - 2 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

Schritt 1.2

Potenziere $22 - 2 x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

Schritt 1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

Schritt 1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 22 - 2 x$ .

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Schritt 1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $22 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $22 - 2 x$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7

Differenziere.

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Schritt 1.7.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $22 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.2

Da $22$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $22$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.7.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.7.9

Mutltipliziere ${(22 - 2 x)}^{2}$ mit $1$ .

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.8.3.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $22$ .

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.2

Bringe $- 88$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

Schritt 1.8.4

Stelle die Terme um.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

Schritt 1.8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.5.1

Schreibe ${(22 - 2 x)}^{2}$ als $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ um.

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.2

Multipliziere $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.8.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.8.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.5.3.1.1

Mutltipliziere $22$ mit $22$ .

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $22$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.3

Mutltipliziere $22$ mit $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.8.5.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

Schritt 1.8.5.3.2

Subtrahiere $44 x$ von $- 44 x$ .

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

Schritt 1.8.6

Addiere $8 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

Schritt 1.8.7

Subtrahiere $88 x$ von $- 88 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} + 484 - 176 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Schritt 2.3

Da $484$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $484$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 176$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 176 x$ nach $x$ gleich $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 176$ mit $1$ .

$24 x + 0 - 176$

Schritt 2.5

Addiere $24 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 176$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x - 176$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 176$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 176$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $24$ und $0$ .

$f''' (x) = 24$

Schritt 4

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$