Analysis Beispiele

${(x^{2} + 11)}^{2} (x - 11)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 11)}^{2}$ und $g (x) = x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 11] + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.2.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} (1 + 0) + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} \cdot 1 + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 11)}^{2}$ mit $1$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 11)}^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 11$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (x - 11) (2 (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 \cdot (x - 11) (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{2} + 11]$

Schritt 1.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11])$

Schritt 1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + \frac{d}{d x} [11])$

Schritt 1.4.4

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x + 0)$

Schritt 1.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 2 (x - 11) (x^{2} + 11) (2 x)$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + 4 (x - 11) (x^{2} + 11) x$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 11) (x^{2} + 11) x$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $x^{2} + 11$ aus ${(x^{2} + 11)}^{2} + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 11$ aus ${(x^{2} + 11)}^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (4 x - 44) (x^{2} + 11) x$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $x^{2} + 11$ aus $(4 x - 44) (x^{2} + 11) x$ heraus.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $x^{2} + 11$ aus $(x^{2} + 11) (x^{2} + 11) + (x^{2} + 11) ((4 x - 44) x)$ heraus.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + (4 x - 44) x)$

Schritt 1.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x \cdot x - 44 x)$

Schritt 1.5.4.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.2.1

Bewege $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 (x \cdot x) - 44 x)$

Schritt 1.5.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 11) (x^{2} + 11 + 4 x^{2} - 44 x)$

Schritt 1.5.5

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$

Schritt 1.5.6

Multipliziere $(x^{2} + 11) (5 x^{2} + 11 - 44 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 11 + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.3

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 11 \cdot x^{2} + x^{2} (- 44 x) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{2} x + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.7.5.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x \cdot x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.5.7.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 (x^{1} x^{2}) + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{1 + 2} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 11 (5 x^{2}) + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.6

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 11 \cdot 11 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.7

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 + 11 (- 44 x)$

Schritt 1.5.7.8

Mutltipliziere $- 44$ mit $11$ .

$5 x^{4} + 11 x^{2} - 44 x^{3} + 55 x^{2} + 121 - 484 x$

Schritt 1.5.8

Addiere $11 x^{2}$ und $55 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 44 x^{3} + 66 x^{2} + 121 - 484 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 44$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 44 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 44$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} [66 x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [66 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $66$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $66 x^{2}$ nach $x$ gleich $66 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 66 (2 x) + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $66$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + \frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.5

Da $121$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $121$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 484 x]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 484 x]$ .

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Schritt 2.6.1

Da $- 484$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 484 x$ nach $x$ gleich $- 484 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484 \cdot 1$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $- 484$ mit $1$ .

$20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x + 0 - 484$

Schritt 2.7

Addiere $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{3} - 132 x^{2} + 132 x - 484$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{3}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 132 x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 132 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 132$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 132 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 132 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 x^{2} - 132 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 x^{2} - 132 (2 x) + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 132$ .

$60 x^{2} - 264 x + \frac{d}{d x} [132 x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [132 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $132$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $132 x$ nach $x$ gleich $132 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $132$ mit $1$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + \frac{d}{d x} [- 484]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $- 484$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 484$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$60 x^{2} - 264 x + 132 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $60 x^{2} - 264 x + 132$ und $0$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 264 x + 132$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $60 x^{2} - 264 x + 132$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x^{2}$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 264 x] + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 264 x]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $- 264$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 264 x$ nach $x$ gleich $- 264 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x - 264 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$120 x - 264 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 264$ mit $1$ .

$120 x - 264 + \frac{d}{d x} [132]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.4.1

Da $132$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $132$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$120 x - 264 + 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $120 x - 264$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x - 264$