Analysis Beispiele

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{4}$ und $g (a) = a + b$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + b$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.4

Da $b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- {(a - b)}^{4}$ nach $a$ gleich $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{4}$ und $g (a) = a - b$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - b$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Schritt 1.3.5

Da $- b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- b$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Schritt 1.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(a + b)}^{3}$ heraus.

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 {(a - b)}^{3}$ heraus.

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ heraus.

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Schritt 1.4.2.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.3

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.7

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Schritt 1.4.2.3.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Schritt 1.4.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Schritt 1.4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Schritt 1.4.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Schritt 1.4.2.5.3

Multipliziere $- - b^{3}$ .

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Schritt 1.4.2.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Schritt 1.4.2.5.3.2

Mutltipliziere $b^{3}$ mit $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Schritt 1.4.2.6

Entferne die Klammern.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Schritt 1.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

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Schritt 1.4.3.1

Subtrahiere $a^{3}$ von $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ und $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Schritt 1.4.3.3

Subtrahiere $3 a b^{2}$ von $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ und $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Schritt 1.4.4

Addiere $3 a^{2} b$ und $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Schritt 1.4.5

Addiere $b^{3}$ und $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Schritt 1.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Schritt 1.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Schritt 1.4.8

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Schritt 2.1.2

Da $8 b^{3}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $8 b^{3}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $24 b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $24 a^{2} b$ nach $a$ gleich $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$0 + 48 b a$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere $0$ und $48 b a$ .

$48 b a$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $48 b a$ um.

$f'' (a) = 48 a b$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $48 b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $48 a b$ nach $a$ gleich $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Schritt 4

Da $48 b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $48 b$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f^{4} (a) = 0$