Analysis Beispiele

${(x + 3)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x + 3)}^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 3$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$4 (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 ({(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 3])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$12 {(x + 3)}^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 3)}^{2}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 3) (x + 3))]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 3) + 3 (x + 3))]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3))]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Schritt 3.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3)]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9)]$

Schritt 3.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 6 x + 9)]$

Schritt 3.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 (x^{2} + 6 x + 9)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.7

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$12 (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 3.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (2 x + 6 + 0)$

Schritt 3.11

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$12 (2 x + 6)$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 x) + 12 \cdot 6$

Schritt 3.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x + 12 \cdot 6$

Schritt 3.12.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$f''' (x) = 24 x + 72$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $24 x + 72$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [72]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [72]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [72]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [72]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [72]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$24 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $24$ und $0$ .

$f^{4} (x) = 24$