Analysis Beispiele

$x^{n}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x^{n - 1}$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $n ((n - 1) x^{n - 2})$ um.

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $n (n - 1)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{n - 2} n (n - 1)$ nach $x$ gleich $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Potenziere $n$ mit $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.2

Potenziere $n$ mit $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Schritt 3.4.2.6

Schreibe $- 1 n$ als $- n$ um.

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren von $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ um.

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $(n - 2) (n^{2} - n)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ nach $x$ gleich $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Subtrahiere $1$ von $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Schritt 4.3.2

Stelle die Faktoren von $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ um.

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$