Analysis Beispiele

$\sin^{6} (5 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (5 x)$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$f' (x) = 30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{5} (5 x)$ und $g (x) = \cos (5 x)$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.4

Multipliziere $\sin^{5} (5 x)$ mit $\sin (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $\sin (5 x)$ .

$30 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $\sin^{5} (5 x)$ .

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$30 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.4.3

Addiere $1$ und $5$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \cdot 1) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$30 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.5.4.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sin^{6} (5 x)$ .

$30 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

Schritt 2.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cdot \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 2.9

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.10

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.13

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \cdot 1)$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $25$ mit $1$ .

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x)) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Schritt 2.17.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.17.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

Schritt 2.17.2.2

Mutltipliziere $25$ mit $30$ .

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 750 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x)$

Schritt 2.17.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $750$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ nach $x$ gleich $750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ .

$750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.2

$750 (\sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)] + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.4.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 3.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.2.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\cos (u_{4})$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.8.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$750 (\sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.14

Multipliziere $\sin^{4} (5 x)$ mit $\sin (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.14.1

Bewege $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.14.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $\sin^{4} (5 x)$ .

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Schritt 3.2.14.2.1

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$750 (\sin^{1} (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$750 ({\sin (5 x)}^{1 + 4} (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.14.3

Addiere $1$ und $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.16

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.17

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.18

Multipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.18.1

Bewege $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.18.2

Mutltipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ .

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Schritt 3.2.18.2.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.18.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + {\cos (5 x)}^{1 + 2} (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.18.3

Addiere $1$ und $2$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{3} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.2.19

Bringe $20$ auf die linke Seite von $\cos^{3} (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 150$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 150 \sin^{6} (5 x)$ nach $x$ gleich $- 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ gleich $n {u_{5}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 {u_{5}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $\sin (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{6}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sin (u_{6})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{6})$ nach $u_{6}$ ist $\cos (u_{6})$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{6}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{6}$ durch $5 x$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Schritt 3.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

Schritt 3.3.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x))$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $30$ mit $- 150$ .

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $750$ .

$- 7500 (\sin^{5} (5 x) (\cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $750$ .

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

Schritt 3.4.2.3

Subtrahiere $4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ von $- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ .

$f''' (x) = - 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $- 12000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ nach $x$ gleich $- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ .

$- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 4.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.7.2

Die Ableitung von $\sin (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\cos (u_{3})$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.10

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.11

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.12

Multipliziere $\sin^{5} (5 x)$ mit $\sin (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.12.1

Bewege $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.12.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $\sin^{5} (5 x)$ .

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Schritt 4.2.12.2.1

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$- 12000 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12000 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.12.3

Addiere $1$ und $5$ .

$- 12000 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.13

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sin^{6} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.14

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.15

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.16

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (25 \sin^{4} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.17

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.18

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.2.20

Addiere $1$ und $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

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Schritt 4.3.1

Da $15000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ nach $x$ gleich $15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos^{3} (5 x)$ und $g (x) = \sin^{3} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)] + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ gleich $n {u_{4}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{5})$ nach $u_{5}$ ist $\cos (u_{5})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.4.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Schritt 4.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{6}$ durch $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Schritt 4.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ gleich $n {u_{6}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 {u_{6}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Schritt 4.3.7.3

Ersetze alle $u_{6}$ durch $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 4.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{7}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\cos (u_{7})] \frac{d}{d x} [5 x])))$

Schritt 4.3.8.2

Die Ableitung von $\cos (u_{7})$ nach $u_{7}$ ist $- \sin (u_{7})$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{7}) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Schritt 4.3.8.3

Ersetze alle $u_{7}$ durch $5 x$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])))$

Schritt 4.3.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))))$

Schritt 4.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.11

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.12

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.13

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.14

Multipliziere $\cos^{3} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.14.1

Bewege $\cos (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.14.2

Mutltipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{3} (5 x)$ .

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Schritt 4.3.14.2.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{1} (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 ({\cos (5 x)}^{1 + 3} (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.14.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{4} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.15

Bringe $15$ auf die linke Seite von $\cos^{4} (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cdot \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

Schritt 4.3.16

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)))$

Schritt 4.3.17

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))))$

Schritt 4.3.18

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)))$

Schritt 4.3.19

Multipliziere $\sin^{3} (5 x)$ mit $\sin (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.19.1

Bewege $\sin (5 x)$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.3.19.2

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $\sin^{3} (5 x)$ .

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Schritt 4.3.19.2.1

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{1} (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.3.19.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + {\sin (5 x)}^{1 + 3} (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.3.19.3

Addiere $1$ und $3$ .

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $- 12000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 (\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.3.3

Mutltipliziere $15$ mit $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 (\cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.3.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $15000$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) - 225000 (\sin^{4} (5 x) (\cos^{2} (5 x)))$

Schritt 4.4.3.5

Subtrahiere $225000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ von $- 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ .

$60000 \sin^{6} (5 x) - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)$

Schritt 4.4.4

Stelle die Terme um.

$f^{4} (x) = - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + 60000 \sin^{6} (5 x)$