Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $- 6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Schritt 1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x + 2 + 0 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Schritt 1.4.3

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = 2$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = 0$

Schritt 4

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = 0$