Analysis Beispiele

$20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 x^{\frac{7}{2}} - 700 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [20 x^{\frac{7}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 x^{\frac{7}{2}}$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$20 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$20 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $20$ und $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{20 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $7$ mit $20$ .

$\frac{140 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $140 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (70 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{70 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.2.11.4

Dividiere $70 x^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 700 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 700$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 700 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 700 (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 700$ .

$70 x^{\frac{5}{2}} - 1400 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 1400 x + 70 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1400 x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 1400 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1400 x$ nach $x$ gleich $- 1400 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 1400 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1400 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1400$ mit $1$ .

$- 1400 + \frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [70 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $70$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $70 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$- 1400 + 70 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$- 1400 + 70 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 1400 + 70 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $70$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$- 1400 + \frac{70 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $70$ .

$- 1400 + \frac{350 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.3.10

Faktorisiere $2$ aus $350 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 2.3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 2.3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1400 + \frac{2 (175 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1400 + \frac{175 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Schritt 2.3.11.4

Dividiere $175 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$- 1400 + 175 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $175 x^{\frac{3}{2}} - 1400$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [175 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $175$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $175 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$175 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$175 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $175$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{175 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $175$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1400]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 1400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1400$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $0$ .

$f''' (x) = \frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $\frac{525}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{525 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{525}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{525}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{525}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{525}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.10

Multipliziere.

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Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{525 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 4.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{525}{4 x^{\frac{1}{2}}}$