Analysis Beispiele

$15 x^{6} + \frac{1}{4} x^{2} + 2 \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{6} + \frac{1}{4} x^{2} + 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{6}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$15 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $15$ .

$90 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$90 x^{5} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$90 x^{5} + \frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$90 x^{5} + \frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{2}{4}$ und $x$ .

$90 x^{5} + \frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$90 x^{5} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$90 x^{5} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$90 x^{5} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$90 x^{5} + \frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = 90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [90 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [90 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $90$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $90 x^{5}$ nach $x$ gleich $90 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$90 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$90 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $90$ .

$450 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + 2 (- \sin (x))$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = 450 x^{4} + \frac{1}{2} - 2 \sin (x)$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $450 x^{4} + \frac{1}{2} - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [450 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [450 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [450 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $450$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $450 x^{4}$ nach $x$ gleich $450 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$450 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$450 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $450$ .

$1800 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1800 x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1800 x^{3} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$1800 x^{3} + 0 - 2 \cos (x)$

Schritt 3.5

Addiere $1800 x^{3}$ und $0$ .

$f''' (x) = 1800 x^{3} - 2 \cos (x)$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1800 x^{3} - 2 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1800 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [1800 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $1800$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1800 x^{3}$ nach $x$ gleich $1800 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1800 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1800 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1800$ .

$5400 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5400 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5400 x^{2} - 2 (- \sin (x))$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{4} (x) = 5400 x^{2} + 2 \sin (x)$