Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x}$

Schritt 1

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x \sqrt{x} + x (- \sqrt{x}) - {\sqrt{x}}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{1}}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 3

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 4.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 \cdot 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Schritt 4.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Schritt 5

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$

Schritt 6

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch $\frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$ gegen unendlich.

$\infty$