Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{8} \frac{2^{i}}{9}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{2^{i + 1}}{9}}{\frac{2^{i}}{9}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{2^{i + 1}}{9} \cdot \frac{9}{2^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kombinieren.

$r = \frac{2^{i + 1} \cdot 9}{9 \cdot 2^{i}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{i + 1}$ und $2^{i}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $2^{i}$ aus $2^{i + 1} \cdot 9$ heraus.

$r = \frac{2^{i} (2 \cdot 9)}{9 \cdot 2^{i}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $2^{i}$ aus $9 \cdot 2^{i}$ heraus.

$r = \frac{2^{i} (2 \cdot 9)}{2^{i} \cdot 9}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i} (2 \cdot 9)}{2^{i} \cdot 9}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2 \cdot 9}{9}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $\frac{2^{i}}{9}$ ein.

$a = \frac{2^{1}}{9}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{2}{9}$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$\frac{2}{9} \cdot \frac{1 - 2^{8}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 256}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $256$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{1 - 256}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $256$ von $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 255}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 255}{1 - 2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 255}{- 1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{2}{3 (3)} \cdot \frac{- 255}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 255$ heraus.

$\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 85}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot - 85}{- 1}$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{- 85}{- 1}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{- 85}{- 1}$ .

$\frac{2 \cdot - 85}{3 \cdot - 1}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 85$ .

$\frac{- 170}{3 \cdot - 1}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 170}{- 3}$

Schritt 5.7

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{170}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{170}{3}$

Dezimalform:

$56.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$56 \frac{2}{3}$