Analysis Beispiele

$\sum_{1}^{20} 8 {(7 x)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$8 (7^{3} x^{3})$

Schritt 1.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$8 (343 x^{3})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $343$ mit $8$ .

$2744 x^{3}$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{x = 1}^{20} 2744 x^{3}$

Schritt 2

Faktorisiere $2744$ aus der Summe raus.

$(2744) \sum_{x = 1}^{20} x^{3}$

Schritt 3

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 4

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2744) (\frac{20^{2} {(20 + 1)}^{2}}{4})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$2744 \frac{20^{2} \cdot 21^{2}}{4}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $20$ mit $2$ .

$2744 \frac{400 \cdot 21^{2}}{4}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $21$ mit $2$ .

$2744 \frac{400 \cdot 441}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $400$ mit $441$ .

$2744 (\frac{176400}{4})$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $2744$ heraus.

$4 (686) \frac{176400}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 686 \frac{176400}{4}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$686 \cdot 176400$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $686$ mit $176400$ .

$121010400$