Analysis Beispiele

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{1}{2} n + 3$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $n$ .

$\frac{n}{2} + 3$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $n$ gleich $1$ ist.

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 - \sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + \sum_{n = 1}^{10} 3$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\frac{1}{2}$ aus der Summe raus.

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{10} n$

Schritt 3.2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{1}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $110$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{55}{2}$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{n = 1}^{10} 3$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(3) (10)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$30$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{55}{2} + 30$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Um $30$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{55}{2} + 30 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $30$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{55}{2} + \frac{30 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{55 + 30 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $30$ mit $2$ .

$\frac{55 + 60}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Addiere $55$ und $60$ .

$\frac{115}{2}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{1}{2} + 3$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1 + 6}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{7}{2}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$\frac{115}{2} - \frac{7}{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{115 - 7}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $7$ von $115$ .

$\frac{108}{2}$

Schritt 6.2.2

Dividiere $108$ durch $2$ .

$54$