Analysis Beispiele

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k - 6$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k$ heraus.

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 k + 3 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\frac{3}{4}$ aus der Summe raus.

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

Schritt 3.2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1.1

Addiere $31$ und $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

Schritt 3.2.4.1.2

Mutltipliziere $31$ mit $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $992$ heraus.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{248}{2})$

Schritt 3.2.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{248}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

Schritt 3.2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $248$ .

$\frac{744}{2}$

Schritt 3.2.4.4.2

Dividiere $744$ durch $2$ .

$372$

Schritt 3.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- \frac{3}{2}) (31)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Multipliziere $(- \frac{3}{2}) (31)$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Mutltipliziere $31$ mit $- 1$ .

$- 31 (\frac{3}{2})$

Schritt 3.3.3.1.2

Kombiniere $- 31$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 31$ mit $3$ .

$\frac{- 93}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{93}{2}$

Schritt 3.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$372 - \frac{93}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Um $372$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $372$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $372$ mit $2$ .

$\frac{744 - 93}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Subtrahiere $93$ von $744$ .

$\frac{651}{2}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die ausmultiplzierte Form.

$\frac{15}{4}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $\frac{651}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Schritt 6.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{651}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $651$ mit $2$ .

$\frac{1302 - 15}{4}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $15$ von $1302$ .

$\frac{1287}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1287}{4}$

Dezimalform:

$321.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$321 \frac{3}{4}$