Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{7} 2 + n^{2}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{7} 2 + n^{2} = \sum_{n = 1}^{7} 2 + \sum_{n = 1}^{7} n^{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{n = 1}^{7} 2$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(2) (7)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$14$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{7} n^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $7$ und $1$ .

$\frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{56 (14 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $14$ und $1$ .

$\frac{56 \cdot 15}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $56$ mit $15$ .

$\frac{840}{6}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $840$ durch $6$ .

$140$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$14 + 140$

Schritt 5

Addiere $14$ und $140$ .

$154$