Analysis Beispiele

$\sum_{k = 2}^{5} \frac{1}{2 k (k + 1)}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.5

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.8

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 (5 + 1)}$

Schritt 2.1.11

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 \cdot 6}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $10$ mit $6$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{24}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{24}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{40}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{40}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{60}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{60}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $12 \cdot 10$ um.

$\frac{10}{10 \cdot 12} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $10$ mit $12$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.11

Stelle die Faktoren von $24 \cdot 5$ um.

$\frac{10}{120} + \frac{5}{5 \cdot 24} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $24$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.13

Stelle die Faktoren von $40 \cdot 3$ um.

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{3 \cdot 40} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.14

Mutltipliziere $3$ mit $40$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Schritt 2.2.15

Stelle die Faktoren von $60 \cdot 2$ um.

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{2 \cdot 60}$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{120}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 + 5 + 3 + 2}{120}$

Schritt 2.4

Addiere $10$ und $5$ .

$\frac{15 + 3 + 2}{120}$

Schritt 2.5

Addiere $15$ und $3$ .

$\frac{18 + 2}{120}$

Schritt 2.6

Addiere $18$ und $2$ .

$\frac{20}{120}$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $120$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Faktorisiere $20$ aus $20$ heraus.

$\frac{20 (1)}{120}$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $20$ aus $120$ heraus.

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Schritt 2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Schritt 2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{6}$

Dezimalform:

$0.1\overline{6}$